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une caractérisation d'une connexivité faible* dans certaines* logiques abéliennes

5 décembre 2025

en logique standard, on a l'élimination de la double négation, dont une des formulations est $\overline{\vdash((\alpha\to\bot)\to\bot)\to\alpha}.$ les logiques abéliennes sont des logiques qui vérifient le schéma plus général d'axiome de relativité, à savoir $\overline{\vdash((\alpha\to\beta)\to\beta)\to\alpha}.$ dans la même veine, on peut générer une logique abélienne $\textsf L$ avec une sémantique fonctionnelle, dans laquelle l'ensemble des valeurs forme quelque groupe abélien $\langle V_{\textsf L},+\rangle$ de telle sorte que :

$0_{\textsf L}\in V_{\textsf L}^+$
$(\alpha\to\beta)^{\textsf L}=\beta^{\textsf L}-\alpha^{\textsf L},$
$(\neg\alpha)^{\textsf L}=\textrm-\alpha^{\textsf L}.$

notez que $0_{\textsf L}$ est nécessairement un "glut" (désignée, de négation désignée), car $\textrm-0_{\textsf L}=0_{\textsf L}\in V_{\textsf L}^+.$ puisque les logiques abéliennes généralisent également la négation, avec $\neg_BA:=A\to B,$ avoir $\neg A$ être un cas où $B$ est un "glut", et donc en particulier dont la négation est (elle aussi) designée, comme $0_{\textsf L},$ fait techniquement sens. (estrada-gonzález, 2020)

une logique connexive, d'un autre côté, est généralement définie comme une logique qui vérifie les propriétés suivantes :

thèses d'aristote : $\overline{\vdash\neg(\alpha\to\neg\alpha)},$ and $\overline{\vdash\neg(\neg\alpha\to\alpha)}.$
thèses de boèce : $\overline{\vdash(\alpha\to\beta)\to\neg(\alpha\to\neg\beta)},$ and $\overline{\vdash(\alpha\to\neg\beta)\to\neg(\alpha\to\beta)}.$
non-symétrie de l'implication : pour quelques $a,b$ wff, $\not\vdash(a\to b)\to(b\to a)$.

or, conjointe à la façon qu'on vient de poser pour construire certaines logiques abéliennes, une incompatibilité apparait assez vite entre ces propriétés : \begin{equation*}\begin{split} (\neg(\alpha\to\neg\alpha))^{\textsf L} &=\textrm-(\textrm-\alpha^{\textsf L}-\alpha^{\textsf L})\\ &=2\alpha^{\textsf L} \end{split}\end{equation*} donc, $2V_{\textsf L}\subseteq V_{\textsf L}^+.$ pourtant, \begin{equation*}\begin{split} ((\alpha\to\beta)\to(\beta\to\alpha))^{\textsf L} &=\alpha^{\textsf L}-\beta^{\textsf L}-(\beta^{\textsf L}-\alpha^{\textsf L})\\ &=2\alpha^{\textsf L}-2\beta^{\textsf L}\\ &=2(\alpha^{\textsf L}-\beta^{\textsf L})\\ &\in2V_{\textsf L}\subseteq V_{\textsf L}^+ \end{split}\end{equation*} si on veut alors parler de connexivité dans ce genre de logiques abéliennes, il peut nous falloir d'affaiblir cette dernière condition de la sorte, décrivant alors une forme logique faiblement* connexive :

thèses d'aristote : $\overline{\vdash\neg(\alpha\to\neg\alpha)},$ and $\overline{\vdash\neg(\neg\alpha\to\alpha)}.$
thèses de boèce : $\overline{\vdash(\alpha\to\beta)\to\neg(\alpha\to\neg\beta)},$ and $\overline{\vdash(\alpha\to\neg\beta)\to\neg(\alpha\to\beta)}.$
non-symétrie faible de l'implication : pour quelques $a,b$ wff, $\vdash a\to b$ et $\not\vdash b\to a.$

théorème de caractérisation :

pour tout groupe abélien $\langle V_{\textsf L},+\rangle$ tel que :

$0_{\textsf L}\in V_{\textsf L}^+$
$(\alpha\to\beta)^{\textsf L}=\beta^{\textsf L}-\alpha^{\textsf L},$
$(\neg\alpha)^{\textsf L}=\textrm-\alpha^{\textsf L},$
il y a une équivalence entre les items suivants :

$\textsf L$ est faiblement* connexive, dans le sens qu'elle vérifie :

les thèses d'aristote : $\overline{\vdash\neg(\alpha\to\neg\alpha)},$ and $\overline{\vdash\neg(\neg\alpha\to\alpha)}.$
les thèses de boèce : $\overline{\vdash(\alpha\to\beta)\to\neg(\alpha\to\neg\beta)},$ and $\overline{\vdash(\alpha\to\neg\beta)\to\neg(\alpha\to\beta)}.$
la non-symmétrie affaiblie de l'implication : pour quelques $a,b$ wff, $\vdash a\to b$ and $\not\vdash b\to a.$

$2V_{\textsf L}\subsetneq V_{\textsf L}^+$ et $\textrm-g\not\in V_{\textsf L}^+$ pour au moins quelque $g\in V_{\textsf L}^+.$

preuve.

$\boxed\Longrightarrow$ supposons $\textsf L$ faiblement* connexive. montrons tout d'abord que $2V_{\textsf L}\subseteq V_{\textsf L}^+:$ \begin{equation*}\begin{split} (\neg(\alpha\to\neg\alpha))^{\textsf L} &=\textrm-(\textrm-\alpha^{\textsf L}-\alpha^{\textsf L})\\ &=\textrm2\alpha^{\textsf L}\\ &\in2V_{\textsf L} \end{split}\end{equation*} cela montre le résultat souhaité. désormais, on doit montrer que $\textrm-g\not\in V_{\textsf L}^+$ pour au moins quelque $g\in V_{\textsf L}^+.$ on sait qu'il y a quelques $a,b$ wff tels que $\vdash a\to b$ et $\not\vdash b\to a.$ ainsi, $$\begin{split} b^{\textsf L}-a^{\textsf L} &=(a\to b)^{\textsf L}\\ &\in V_{\textsf L}^+\\ \textrm-(b^{\textsf L}-a^{\textsf L}) &=a^{\textsf L}-b^{\textsf L}\\ &=(b\to a)^{\textsf L}\\ &\not\in V_{\textsf L}^+ \end{split} $$ donc $g=b^{\textsf L}-a^{\textsf L}$ convient. étant donné que $2V_{\textsf L}$ est clos par inversion, $g\in V_{\textsf L}^+\setminus2V_{\textsf L},$ donc $2V_{\textsf L}\ne V_{\textsf L}^+.$

$\boxed\Longleftarrow$ supposons que $\textsf L$ soit tel que $2V_{\textsf L}\subsetneq V_{\textsf L}^+$ et que $\textrm-g\not\in V_{\textsf L}^+$ pour au moins quelque $g\in V_{\textsf L}^+.$ \begin{equation*} \begin{split} (\neg(\alpha\to\neg\alpha))^{\textsf L} &=\textrm-(\textrm-\alpha^{\textsf L}-\alpha^{\textsf L})\\ &=2\alpha^{\textsf L}\\ &\in2V_{\textsf L}\subset V_{\textsf L}^+\\ (\neg(\neg\alpha\to\alpha))^{\textsf L} &=\textrm-(\alpha^{\textsf L}-(\textrm-\alpha^{\textsf L}))\\ &=\textrm-2\alpha^{\textsf L}\\ &\in2V_{\textsf L}\subset V_{\textsf L}^+\\ ((\alpha\to\beta)\to\neg(\alpha\to\neg\beta))^{\textsf L} &=\textrm-(\textrm-\beta^{\textsf L}-\alpha^{\textsf L})-(\beta^{\textsf L}-\alpha^{\textsf L})\\ &=\beta^{\textsf L}+\alpha^{\textsf L}-\beta^{\textsf L}+\alpha^{\textsf L}\\ &=2\alpha^{\textsf L}\\ &\in2V_{\textsf L}\subset V_{\textsf L}^+\\ ((\alpha\to\neg\beta)\to\neg(\alpha\to\beta))^{\textsf L} &=\textrm-(\beta^{\textsf L}-\alpha^{\textsf L})-(\textrm-\beta^{\textsf L}-\alpha^{\textsf L})\\ &=\textrm-\beta^{\textsf L}+\alpha^{\textsf L}+\beta^{\textsf L}+\alpha^{\textsf L}\\ &=2\alpha^{\textsf L}\\ &\in2V_{\textsf L}\subset V_{\textsf L}^+ \end{split} \end{equation*} enfin, soit $g\in V_{\textsf L}^+$ tel que $\textrm-g\not\in V_{\textsf L}^+,$ qui existe par hypothèse. on prend quelques $\alpha,\beta$ wff, et $f$ une fonction de vérité, tels que $f(\alpha)=0_{\textsf L}$ et $f(\beta)=g.$ ainsi, \begin{equation*} \begin{split} f(\alpha\to\beta) &=f(\beta)-f(\alpha)\\ &=g\in V_{\textsf L}^+\\ f(\beta\to\alpha) &=f(\alpha)-f(\beta)\\ &=\textrm-g\not\in V_{\textsf L}^+ \end{split} \end{equation*} ainsi, $\textsf L$ est effectivement faiblement* connexive.

les logiques abéliennes connexives décrites dans cette caractérisation, sont aussi fortement incohérentes, puisque pour toute $\textsf L$ telle logique, $(\alpha\to\neg\alpha)^{\textsf L}=\textrm-2\alpha^{\textsf L}\in2V_{\textsf L}\subset V_{\textsf L}^+,$ donc on a aussi bien $\overline{\vdash\neg(\alpha\to\neg\alpha)}$ et $\overline{\vdash\alpha\to\neg\alpha}.$ bon, encore, la paracohérence ça commence à être bien reconnu, mais en outre, elles ne satisfont pas la règle du modus ponens : pour $\alpha,\beta$ wff, et $f$ fonction de vérité telle que $f(\alpha)=g$ et $f(\beta)=\textrm-g,$ avec $g\in V_{\textsf L}^+$ tel que $\textrm-g\in V_{\textsf L}^+,$ on a $f(\alpha\to\beta)=\textrm-2g\in2V_{\textsf L}\subset V_{\textsf L}^+$ et $f(\alpha)=g\in V_{\textsf L}^+,$ pourtant $f(\beta)=\textrm-g\not\in V^+.$ le fait qu'elles ne satifont pas la règle du modus ponens, à mon avis, légitiment un peu l'affaiblissement à la non-symmétrie de l'implication ici ; mais après, ne pas avoir cette inférence fondamentale peut être assez controversé, même si ça ne me choque plus vraiment.
toutefois, elles satisfont la contraposition : $(\alpha\to\beta)^{\textsf L}=\beta^{\textsf L}-\alpha^{\textsf L}=(\textrm-\alpha^{\textsf L}-(\textrm-\beta^{\textsf L}))=(\neg\beta\to\neg\alpha)^{\textsf L}.$ c'est aussi facile de prouver qu'elles ne valident pas : l'affirmation du conséquent, la négation de l'antécédent $(\textrm{indice}:g-(\textrm-g));$ le paradoxe positif $(\textrm{indice}:(\alpha^{\textsf L}-g)-\alpha^{\textsf L});$ vérité creuse $(\textrm{indice}:(\textrm-g-\alpha^{\textsf L})-(\textrm-\alpha^{\textsf L}))\ldots$

⟨	une logique du chifoumi...

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