| bidouillages mathématiques 
alphabet phonétique (étendu) | 
notation en style de fitch pour katex | 
bac-à-sable de logique polyvalente | 
autres | 
unicode
| |
une logique du chifoumi
6 octobre 2025en logiques polyvalentes, il est commun que les valeurs de vérités appartiennent à un treillis, ∧ and ∨ étant respectivement interprétées par opérations infimum et suprémum. toutefois, qui dit treillis, dit ensemble partiellement ordonné, et donc dit transitivité. dans un jeu notoirement intransitif tel que le chifoumi, ça ne pourrait évidemment pas s'y appliquer. pourtant, il est bien connu que dans n'importe quel treillis \((L,\le),\) les propriétés suivantes sont équivalentes pour tous \(x,y\in L:\)
- \(x\le y,\)
- \(\inf\{x,y\}=x,\)
- \(\sup\{x,y\}=y.\)
| \(A\land B\) | \(B\) | |||
| pierre | feuille | ciseaux | ||
| \(A\) | pierre | pierre | pierre | ciseaux |
| feuille | pierre | feuille | feuille | |
| ciseaux | ciseaux | feuille | ciseaux | |
| \(A\lor B\) | \(B\) | |||
| feuille | pierre | ciseaux | ||
| \(A\) | pierre | pierre | feuille | pierre |
| feuille | feuille | feuille | ciseaux | |
| ciseaux | pierre | ciseaux | ciseaux | |
bien qu'étant des opérations très différentes de l'infimum et du suprémum, ces opérations peuvent quand même être décrites algébriquement de manière similaire. une propriété important du chifoumi est que, malgré son intransitivité, il reste antisymétrique et total, ce qui est tout ce qu'il nous faut pour affirmer que, parmi deux positions distinctes, une d'elles bat l'autre ; c'est parce qu'on a le théorème suivant : $$\begin{array}{cll} &\{\forall x\quad\forall y\quad(R[x,y]\supset R[y,x]\supset x=y)\}&\rm antisym\acute etrie\\ \cup&\{\forall x\quad\forall y\quad(R[x,y]\lor R[y,x])\}&\rm totalit\acute e\\ \vDash&\forall x\quad\forall y\quad({\sim}x=y\supset{\sim}(R[x,y]\equiv R[y,x])) \end{array}$$ combiné à la réflexivité, ces trois propriétés nous permettent de substituer la transitivité localement : pour \(\mathcal R:L\times L\to\{\textsf{vrai},\textsf{faux}\}\) une relation réflexive, antisymétrique, totale sur \(L,\) alors pour tous \(x,y\in L,\) on a que \((\{x,y\},\mathcal R|_{\{x,y\}\times\{x,y\}})\) est un treillis, dans lequel on peut donc localement évaluer \(\inf\{x,y\}\) et \(\sup\{x,y\},\) et utiliser ces valeurs dans les matrices de conjonction et de disjonction respectivement.
curiesement, ces \((\{x,y\},\mathcal R|_{\{x,y\}\times\{x,y\}})\) sont aussi des algèbres de heyting/boole. toutefois, on ne peut pas généraliser ⇒ proprement de cette même façon, cette approche menant toute opération binaire à devenir idempotente. en effet, \((\{0,1\},\le)\) est un algèbre de heyting total, donc on peut trouver \((0\Rightarrow0)=1\) via la version heyting-algébrique usuelle, bien qu'on aurait eu \((0\Rightarrow0)=0\) si on évaluait \(0\Rightarrow0\) sur \((\{0\},{\le}|_{\{\left<0,0\right>\}})\) à la place.
en outre, la négation fonctionnerait également très étrangement en suivant cette idée générale, car de par sa nature unaire, il faudrait valuer \(\neg x\) en ne regardant que \((\{x\},{\le}|_{\{\left< x,x\right>\}})\) ne pourrait résulter qu'autrement que par \(\neg x=x,\) donc chaque valeur de vérité serait sa propre négation. avoir quelques valeurs de vérité qui sont leur propre négation n'est pas une idée inconnue au bataillon, on en a des exemples dans les systèmes fde (dunn, 1976 ; belnap, 1977), lp (priest, 1979), ou son ancêtre kleene, 1938. cependant, je dois l'avouer, je n'avais jusque là jamais vu de logique où toutes les valeurs de vérité sont leur propre négation – et je peux très bien imaginer pourquoi.
les matrices associées sont :
| \(A\supset B\) | \(B\) | |||
| pierre | feuille | ciseaux | ||
| \(A\) | pierre | pierre | feuille | ciseaux |
| feuille | pierre | feuille | ciseaux | |
| ciseaux | pierre | feuille | scissors | |
| \(A\) | \({\sim}A\) |
| pierre | pierre |
| feuille | feuille |
| ciseaux | ciseaux |
en utilisant exactement une des valeurs entre pierre, feuille, ou ciseaux comme valeur designée, on a encore quelques autres propriétés intéressantes : sa disjonction fonctionne plutôt comme une disjonction exclusive, tout en validant le dilemme constructif et invalidant la loi du tiers exclu, là où son opération conditionnelle devient associative, valide les thèses de boèce en forme de règle avec leurs règles réciproques, valide la négation de l'antécédent tout en invalidant le modus tollens (mais en validant le modus ponens), rend invalide la plupart des paradoxes de l'implication matérielle, valide les règles d'exportation–importation (ie. currying–decurrying), etc. naturellement, je me demande alors : combien de ces propriétés sont simplement dues au fait de travailler dans une logique, dans laquelle toutes les valeurs de vérité sont leur propre négation ?
j'ai alors regardé une autre logique qui a cette propriété, qui est essentiellement ce qu'on obtient en prenant les matrices booléennes usuelle, standards à 2 valeurs, hormis pour la négation, altérée de sorte à ce que chaque valeur soit sa propre négation. elle inclut une valeur désignée, "both", et une valeur indésignée, "neither", ce que de telles valeurs respectivement excessive et déficitaire sont nommées dans des systèmes tels que fde. j'ai remarqué quelques points communs, notamment la validation des thèses de boèce en forme de règle ainsi que leurs réciproques, nier l'antécédent sans affirmer le conséquent, invalider le modus tollens tout en validant le modus ponens, valider le dilemme constructive tout en invalidant la loi du tiers exclu, etc. mais bien sûr, il y a tout un tas de différences : la logique "both"/"neither" valide aussi les thèses d'aristote, les thèses de boèce dans toutes ses formes et leurs réciproques, tandis que cette logique chifoumi valide l'inférence de \(B\) à partir de \(A\supset B\) seule, invalide la réflexivité (resp. irréflexivité) de ⊃, a une disjonction exclusive plutôt qu'une inclusive, invalide l'associativité de ∨ et ∧, mais validant l'associativité de ⊃, invalide la simplification/&-elim., invalide l'absorption, etc. donc globalement, cette logique chifoumi est généralement plus stricte que la logique "both"/"neither", sauf pour quelques règles telles que l'inférence de de \(B\) à partir de \(A\supset B,\) etc.
bon, j'ai pas spécialement de conclusion grandiose à faire à cette article, j'ai un peu présenté les bizzarreries qui m'ont été données de voir en explorant cette idée loufoque. je partage quand même, après tout ça pourrait donner des idées à certains, idées que j'adorerais voir développées davantage.
"annexes" :
- pour faire mumuse avec cette logique chifoumi : [lien]
- pour faire mumuse avec la logique both–neither : [lien]
|