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quand ℚ et ℝ sont de mêmes "mesures"
26 avril 2023pour λ la mesure usuelle (lebesgue), λ([0,1]∩ℚ) = 0 and λ([0,1]∩ℝ) = 1. pourtant, n'importe quels dessins raisonnables* de [0,1] et de [0,1]∩ℚ devraient être identiques. y a, bien sûr, moyen d'dessiner les deux d'sorte à ç'que les deux dessins soient clairement distincts. mais pour ça, va déjà falloir définir deux trois trucs pour rendre tout ça rigoureux.
tout d'abord, cette "mesure" (qui n'est pas sigma-additive donc n'est pas une mesure au sens formel du terme) naïve d'un ensemble S est donnée par la mesure de lebesgue de l'adhérence de S. par contre, si t'es pas très topologie ça peut sonner comme du charabia. cl(S), l'adhérence de S, c'est grosso-merdo la version "complétée" de S, l'ensemble de tous les points qui sont collés à S, dont la distance à S est un 0 pointé si tu préfères. mais assez amusément, cette intuition venant tout droit du dessin permet d'caractériser cl(S) d'encore une autre façon.
bon, y s'peut qu't'aies déjà remarqué qu'dans les applis de dessin un peu cheapos, les pinceaux sont juste des formes qui dessinent autour du curseur, permettant d'esquisser un peu toutes les formes qu'on veut, un peu comme ça :
suite à cette observation, on peut définir l'dessin de S avec un ensemble "pinceau" P comme étant ⇓(S, P) =
* on veut alors créer une famille plus raisonnable de pinceaux avec lesquels on pourra dessiner. on peut notamment prendre les boules ouvertes B(0,ε) pour ε > 0, de dimensions intrisèques égales à la dimension de l'espace ambient. en outre, λ(B(0,ε)) → 0 quand ε → 0, et B(0,ε) croissant par rapport à ε ; ça nous permet alors de caractériser cl(S) comme ⇓(S, B(0,ε)) =
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