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visualiser des espaces de dimension infinie
24 avril 2023j'suis devenuæ assez fan des espaces de hilbert, des trucs de fourier etc ce semestre. récemment, j'me suis demandé comment représenter des trucs d'espace infini, genre comment on processe l'audio de 20 Hz à 20 kHz et à des différentes amplitudes en dB, et fourier est super important ici mais faut penser à chaque Hz comme sa propre coordonnée d'une certaine façon, et donc avec une base indénombrable d'une certaine façon. mais ç'qui est cool avec fourier c'est qu'ça parle d'angles et tout, donc ça m'a donné l'idée d'me dire qu'genre chaque coordonnée à un angle spécifique autour d'un point, un peu comme un diagramme en étoile, sauf qu'y a pas les inteporlations linéaires par morceaux, et c'est la longueur des segments d'axes qui indiquent à quel point la valeur à chaque coordonnée est petite ou grande :
et oui, y a une infinité d'angles donc on peut même avoir une infinité d'coordonées avec ça justement. c'est pas vraiment ℝ² en terme d'espace vectoriel, la base c'est plutôt une sorte de sous-ensemble β ⊆ B(0ℝ², 1) en temps que base orthonormale, donc ses vecteurs sont plutôt ℝ·β ≝ {λx : λ ∈ ℝ, x ∈ β}.
ç'qui est encore + cool c'est qu'tu peux aussi grapher des fonctions de ℝ vers ℝm, ou vers E telle que (E, ⟨,⟨) est un espace de hilbert pour lequel la base est indexée sur ℝ ou une partie de ℝ, en utilisant la base {(x,y) ∈ ℝ² : (x+yi)2n = (−1)n, 0 ≤ arg(x+yi) < π} en n dimensions, des rotations irrationnelles sur une indexation discrète, ou arctan le reste du temps pour décider l'angle auquel assigner chaque coordonnée. j'appelle ça un graphe en mascara vu qu'ça ressemble un peu à une brosse à mascara :
on pourrait croire qu'le graphe mascara que j'vous ai montré dans l'gif au-dessus là est celui d'une fonction continue, et... alors pas DU TOUT mdr. pour qu'elle soit continue, il faut qu'la fonction ait des amplitudes continûment décroissantes et croissantes pour les mêmes coordonnées angulaires. pour tester si une fonction est continue, on peut checker si chaque plan passant par l'axe des x intersecté avec le graphe en mascara autour d'ce même axe même est composé d'une courbe continue ; c'est même équivalent j'crois, mais j'ai trop la flemme de vrmt vérifier (j'vois mm pas comment ça pourrait casser mdr). à noter qu'ça fonctionne qu'si t'as une base hilbertienne de cardinal au plus celui de ℝ, si t'as besoin d'indexer ta base hilbertienne sur ℝℝ ou un truc du genre tu cherches la merde aussi ptdr.
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