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alexandræ · trucs de réseaux géométriques
trucs de réseaux géométriques10 april 2023
bon, j'ai fait pas mal de trucs par rapport aux réseaux géométriques récemment, avec une perspective plutôt analytique dans l'ensemble, et j'mets un peu tout ç'que j'trouve dans un projet overleaf donc j'pensais faire un p'tit billet ici pour expliquer quelque trucs que j'ai trouvés. au cas où ma motivation c'était surtout histoire d'aller un peu plus loin qu'la théorie des nombres analytique habituelle, et trouver des techniques qu'on pourrait peut-être chourrer en y revenant après quoi, vu qu'la plupart des problèmes en théorie des réseaux géométriques sont résolubles... même si ça prend du temps et de l'espace infâme en terme de computation, askip (à tel point qu'c'est une piste non-négligeable pour faire d'la cryptographie "ordinateur quantique"-proof). j'cherche pas vrmt à trouver des meilleurs algos ou quoi, juste trouver des trucs sympas, faire des maths juste pour des maths quoi !
commençons par l'commencement, j'ai commencé par établir une approche rigoureuse sur les fonctions d'compte, vu qu'chaque réseau a leur propre fonction d'compte pour des boules de tailles données autour d'un sommet du réseau, donc j'voulais montrer des trucs un peu généraux dessus même si c'est pas explicitement lié aux réseaux géométriques. j'ai qd mm trouvé un résultat principal : "soit F : Ω ⊆ℝ ⟶ ℕ tel que sup(Ω)=+∞. son ensemble de discontinuités est discret, et de même pour son ensemble d'adhérence". c'est un résultat assez puissant formellement parlant, vu qu'ça permet d'savoir "où" s'trouve les trucs qu'la fonction compte se trouvent, et j'en ai une preuve assez visuelle (clique ici si tu veux la voir animée). j'ai fait aussi quelques analyses asymptotiques oklm. j'ai surtout trouvé qu'en d ≥ 2 dimensions, on avait qu'la fonction qui compte cb y a d'points de norme ≤ R était O(R2) et Ω(R2-ε) pour tout ε > 0, grâce à des trucs de théorie des ensembles et un résultat qu'j'ai déniché lol.
après, j'me suis attaquǽ aux parallélotopes fondamentaux de réseaux, histoire d'avoir un ordre d'idée d'cb d'bornes sup et inf j'pourrais générer à la pelle pour les fonctions d'compte des réseaux citées plus haut. et bon bah, semble qu'y ait l'embarras du choix vu qu'y a une infinité d'parallélotopes fondamentaux dans un réseau d'dimension d ≥ 2, vu que "Aℤd = Bℤd if and only if AGLd(ℤ) = BGLdℤ", donc techniquement, contrairement aux matrices qui n'en ont qu'une seule, les réseaux d'dimension au moins 2 ont une infinité d'parallélotopes fondamentaux, et pour l'réseau Aℤd leur ensemble est précisément AGLd/∂[0,1]d, pour celleux qui sont à l'aise avec les quotients. j'vais sans doute faire un follow-up à ç'billet, on verra cb d'tps ça prendra mdr.
| ⟨ | distance d'objets sur des photos... |
| | visualiser des espaces de dimension... | ⟩ |
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alexandræ
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