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quelques trucs de groupes finis (surtout reportatif, peu de recherche perso)
24 mars 2023je suis plutôt analyste, mais j'aime bien faire d'l'algèbre de temps en temps. en voici une telle occurrence. bon, en gros j'pensais un peu aux invariants d'groupes finis en ç'moments, et à quelques éléments notables des groupes en extra. pour ceux qui connaissent pas, un invariant d'groupe fini est simplement une fonction qui donne la même sortie avec des groupes finis isomorphes comme entrées (je dirai simplement groupes au lieu de groupes finis à partir de là, pck flemme lol). alternativement, on veut un peu construire des fonctions sur... ç'qu'on pourrait formellement construire comme
cependant, les invariants peuvent être très inintéressants ; prenons ψ : S/≃ ⟶ {0} par exemple, alors on peut construire ψ* : S ⟶ im(ψ) = {0} tel que... eh bien, on a pas vraiment besoin d'ajouter grand-chose ici, heureusement. cependant, puisque ça fait qu'regrouper tous les groupes dans l'même panier, c'est pas un invariant très "utile". alors, on entend quoi par "utile" ici ? bah en gros, on veut essentiellement dire qu'on est en mesure d'déterminer la classe d'isomorphisme du groupe à partir d'sa sortie par l'invariant. donc, fondamentalement, on veut un invariant inversible (enfin, plutôt ψ lui-même inversible, plutôt que ψ* ; inversible jusqu'à l'isomorphisme, à la limite), qui est ç'qu'on appelle plus communément un invariant caractéristique. cependant, c'est assez difficile et ça peut souvent donner des invariants assez difficiles à manier pour des groupes trop grands, donc une variante (jeu de mots intentionnel) aux conditions plus faibles mais restant intéressante provient d'invariants "localement inversibles" (à iso près) ; par là, j'veux dire que, pour ψ-1(im ψ) ⊇ S/≃, et ψ* : G ⟼ ψ([G]), y existe Γ ⊆ S/≃ tel que ψ|Γ est bijectif. on peut noter un tel Γ qu'on notera Γψ pour un invariant ψ*. l'idée est d'expliciter un Γψ aussi large qu'possible pour un invariant ψ* donné. on peut également prendre n invariants ψ1*, ..., ψn* et créer un nouvel invariant ψ* : G ⟼ (ψ1*, ..., ψ n*)(G) avec un possible Γψ comme ⋃i Γψi, qui nous donne explicitement un moyen d'construire une suite croissante de Γs, càd des invariants qui étendent leur utilité à des groupes de plus en plus grands (jusqu'aux isomorphismes) !... même si c'est pas forcément une monotonie stricte, évidemment.
puisqu'on a principalement besoin d'construire ψ une fonction sur S/≃, puisque S/≃ est dénombrable infini, on peut en tirer un invariant quelconque à travers une sorte d'indexeur qui enverrait son image de manière injective sur les entiers naturels, donc à partir de maintenant j'prendrais simplement ψ ∈ (S/ ≃)ℕ (ouais, désolé d'être restǽ si longtemps dans des espaces si mal élevés, mon côté analyste se montre j'imagine mdr).
aussi, puisqu'on doit construire en amont ψ ∈ (S/≃)ℕ pck vu qu'on peut obtenir son invariant ψ* correspondant, ça veut dire qu'on doit extraire du groupe des trucs dont on sait qu'elles sont partagées dans tout [G] en général et pas seulement dans un G spécifique dans sa classe d'iso, qu'y s'agisse d'éléments ou d'comportements spécifiques. le premier exemple auquel j'ai pensé c'était ψ* : (G, ·) ⟼ #{g · g : g ∈ G}, vu qu'cette quantité change pas par simple réétiquetage de éléments et/ou de l'opération interne (ç'qui est exactement ç'qu'est un isomorphisme, justement). ça compte essentiellement l'nombre d'éléments différents qu'il y a dans la diagonale d'la table de cayley du groupe (j'pense c'est plus clair pourquoi ça fonctionne, du coup). un autre, avec un raisonnement similaire, est ψ* : (G, ·) ⟼ #{g · g = 0(G, ·) : g ∈ G}. aucun d'entre eux est caractéristique cependant, mais au moins déjà l'premier est localement bijectif sur les groupes d'ordre au plus 4 (j'ai trop la flemme de vérifier si ça fonctionne pour des groupes plus grands, mais j'me souviens que c'est à peu près par là qu'ça merde). alors j'me suis dit go construire des éléments plus remarquables en fait.
alors, si vous connaissez un peu les anneaux, y a cette idée de caractéristique d'anneaux, qui est fondamentalement juste un nombre, plus précisément un entier naturel κ ∈ ℕ tel que κℕ = {n ∈ ℕ : 0 = 1+...+1, n fois}. alors j'me suis dit j'allais essayer d'trouver un moyen d'définir "1" d'cette façon, ou plutôt succ(eG) en gros. bon, comme j'm'y attendais, j'suis pas arrivé à un élément unique, mais bon j'propose qd mm que succ(eG) soit un élément de G choisi parmi ses éléments de plus grand ordre. j'ai pas encore fait grand-chose avec ça, mais j'sais pas, j'trouvais c'était propre quoi lol.
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