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alexandræ · interpolation linéaire, suites, et f(1/<i>x</i>) = 1/f(<i>x</i>) : l'étrange cas de la racine carrée

interpolation linéaire, suites, et f(1/x) = 1/f(x) : l'étrange cas de la racine carrée

21–22 mars 2023

    l'approximation usuelle qu'on utilise pour calculer la racine carrée est celle de la méthode de newton-raphson. càd que √z est la limite de la suite an+1 = (an²−z)/2an, avec un a0 choisi comme suffisamment proche de √z ; par exemple, si z est de l'ordre de 2n (càd ⌊log2(z)⌉ = n), on peut utiliser 2⌊n/2⌉. cependant, y a moult autres façons de calculer la racine carrée, et en patogeant un peu de mon côté, je suis tombǽ sur qqch d'assez intrigant.

    l'idée était d'interpoler linéairement la racine carrée sur entre n² et (n+1)² d'un côté, et entre 1/(n+1)² et 1/n² de l'autre, pour tout n ≥ 1, donc ça nous fait une fonction f telle que f(n²(1−t)+(n+1)²t) = n(1−t)+(n+1)t et f((1−t)/(n+1)²+t/n²) = (1−t)/(n+1)+t/n pour t ∈ [0,1]. bon c'est pas tip-top, mais la véritable astuce que je souhaitais exploiter est la propriété suivante : √1/x = 1/√x, ce qui signifie que √x = ½(√x+1/√1/x ). du coup, je définis (fn)n≥0 une suite de fonctions telle que f0 = f, puis fn+1 : x ↦ ½( f(x)+1/f(1/x)).

    et avec surprise... ça marche comme sur des roulettes ! on a supx ∈ ℝ+ | f1(x)−√x | < 10-2, ce qui est déjà très bon ! mais après ça continue avec supx ∈ ℝ+ | f2(x)−√x | < 10-5, puis encore mieux : supx ∈ ℝ+ | f3(x)−√x | < 10-11, etc. on dirait bien alors que fn(x)⟶√x pour tout x ∈ ℝ+. or, √ semble être la seule telle fonction qui ait cette propriété parmi d'autres pourtant assez similaires.

    en effet, en ayant testé d'interpoler entre les cubes successifs et les inverses de cubes successifs, il semble que les fonctions et suite analogues se bloquent au-delà d'un certain écart entre ∛, ou même x ↦ x2/3. j'sais pas si ce serait pas pck la distribution des carrés d'entiers est plus serrée que toute autre distribution d'entiers à puissance naturelle fixe, hormi les entiers puissance 1 (et 0) bien sûr. je pense qu'on pourrait creuser ce phénomène un peu davantage, va savoir ç'que ça pourrait nous donner.

    ce serait complètement inintéressant de tester les puissances irrationnelles, puisque tout entier ≥ 2 à une puissance irrationnel est transcendante (gelfond-schneider), donc y a pas d'entier dans (x ↦ xα)-1(ℕ\{0,1}).

note du 22/03/2023 :
au final, j'ai l'impression que ça dépend pas vraiment de la répartition des points d'interpolation. en effet, si on prend, pour n ≥ 1 et α ∈ ]0,1[, f0(n(1−t)+(n+1)t) = nα(1−t)+(n+1)αt et f0((1−t)/(n+1)+t/n) = (1−t)/(n+1)α+t/nα, fn(x) a l'air de toujours uniquement converger vers xα pour tout x ∈ ℝ>0 uniquement en α = 1/2. le mystère s'épaissit... x)
mais bon, j'préfère quand même cette suite d'interpolations là :
  1. f0(nq(1−t)+(n+1)qt) = np(1−t)+(n+1)pt
  2. f0((1−t)/(n+1)q+t/nq) = (1−t)/(n+1)p+t/np
  3. fn+1(x) = ½(fn(x)+1/fn(1/x))
pck c'est plus simple à calculer à la main qd mm lol (laissez pas ce géant foutoir de symboles vous duper).
⟨la densité des parties fractionnai...
quelques trucs de groupes finis (su...⟩
alexandræ
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