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la densité des parties fractionnaires αℕ dans [0,1] – une approche constructive
20 mars 2023lorsque α est un rationnel, les αℕ peuvent avoir qu'un nombre assez limité de développements décimaux après la virgule. on peut par exemple pas s'rapprocher de nombres du style n.391737636712&c avec (1/3)ℕ avec des écarts plus petits qu'un certain seuil.
cependant, lorsqu'α est irrationnel, on se rend compte qu'αℕ semble pouvoir approcher n'importe quel développement décimal voulu... mais est-ce bien vrai ? cette question est assez essentielle, par exemple, pour dire que (ein )n≥0 définit une base hilbertienne sur un certain espace de hilbert (wink wink fourier), ou encore pour comprendre la technique de la rotation irrationnelle qu'on trouve, par exemple, dans le dédoublement de boules de banach-tarski. alors, comment s'en convaincre, constructivement ?
tout d'abord, voici une observation analogue sur les irrationnels α ∈ ]0,1[ : puisque (n+1)α−nα = α<1, on peut obtenir n'importe quel entier en partie entière. pour le trouver, on choisir m notre partie entière désirée, on veut trouver nα ⪎ m ⇔ n ⪎ m/α ⇐
déjà, y a forcément au moins deux chiffres qui se répètent une infinité de fois dans les bcimales d'α, sinon quoi on aura un chiffre qui se répète, et donc y existerait p ∈ ℕ tel que bp(b−1)α ∈ ℕ. on peut donc écrire deux de ces chiffres 1 et 2, avec 1<2, telles qu'y a une infinité de ...12... et de ...21... dans les bcimales (bcimales, mais en base b). c'est pas non plus possible avec bp(bq−1) pour q ∈ ℕ, donc y a forcément aussi une infinité de ...11... OU de ...22..., possiblement les deux. si c'est ...11..., alors y a ...11...12... quelque part (une infinité de fois, en fait) dans lesdites bcimales. si c'est ...11..., alors y a ...21...22... quelque part (une infinité de fois, en fait) dans lesdites bcimales. c'est intéressant pck si à partir de deux positions distinctes avec le même chiffre (ou même suite de chiffre, en fait) suivis de chiffres qui sont inférieurs l'un à l'autre, comme par exemple dans 3.141592... où t'as 1=1 et 4<5, alors en notant explicitement les positions dans les bcimales d'α on a
pour cette raison, j'aime bien résumer cet algo avec cette image :
voilà, j'espère que vous aurez trouvé ça intéressant !
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