|
|
alexandræ · étude d'un motif en zig-zag du carré au cercle unités (i)
étude d'un motif en zig-zag du carré au cercle unités (i)2 octobre 2023
ça va sans doute être un de tout un tas de billets sur ce motif. pendant ma recherche en théorie analytique des réseaux géométriques, j'ai commencé à étudier ça :
notamment, je suis intéressǽ dans l'approximation asymptotique de ces différentes aires. la raison peut être un peu perçu dans mon mini-papier "fractal upper bound for Eis(R) the number of eisenstein integers of norm ≤ R".
les aires sur les côtés du carré sont un peu particuliers, je vais donc les prendre à part d'abord. on aurait besoin que de regarder à un huitième de l'aire entre le carré et le cercle privé de ses quatre carrés les plus larges inscrits dans cette aire. je choisirai arbitrairement d'utiliser le huitième qui soit à la fois vertical et adjacent au côté droit. la fonction essentielle pour générer tout carré dans ce huitième se trouve être la suivante :
$$\begin{array}{lllll}
p&:&\mathbb R\times\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R\times\mathbb R\\
&&\displaystyle\binom xy&\longmapsto&\left(\begin{matrix}
\frac12\big((x+y)+\sqrt{2-(x+y)^2}\big)\\
-\sqrt{1-\frac14\big((x+y)+\sqrt{2-(x+y)^2}\big)^2}
\end{matrix}\right).
\end{array}$$
on va surtout se focaliser sur deux cas, assez différents au même sur le plan des détails. on procèdera en générant les carrés latérals d'abord, puis chaque carré adjacent aux deux plus grands carrés étant eux-mêmes adjacents aux côtés du carré donné. tous les carrés seront caractérisés par leurs coins situés en bas à droite. voici des illustrations des deux scénarios, dans l'ordre de mention :
premier cas
ça fait que le nème petit carré, de tout en bas vers le haut, adjacent au côté droit du carré circonscrit, est tel que son ordonnée peut être descriptible récursivement via \(y_{n+1}=\textbf p_y(1,y_n)\), sachant que \(y_1=-1/\sqrt2\). le truc qui rend ce cas particulier est que, pour étudier ce bad boi, faut regarder sa série de puiseux :
$$\textbf p_y(1,x)=-|x|\left(1+\frac x2+\underset{x\to0}o(x)\right).$$
on peut donc approcher \(y_n\) avec \(z_n\) telle que \(z_1:=y_1=-1/\sqrt2\), et \(z_{n+1}:=z_n+(z_n)^2/2\). c'est loin d'être une récurrences très conventionnelle, mais j'ai eu quelques idées pour analyser ça asymptotiquement. notamment, puisque \(z_{n+1}-z_n=(z_n)^2/2\), and \(z_n\to0\), on peut dédiscrétiser le problème grâce à l'équation différentielle \(z'(t)=z(t)^2/2\), laquelle nous connaissons heureusement les solutions exhaustivement comme étant \(z:t\mapsto\displaystyle-\frac2{t+\lambda}\), où \(\lambda\) est une constante réelle arbitraire. elles sont toutes équivalentes asymptotiquement à \(-2/t\). puisque tout ce beau monde tend vers 0, on peut dire, notamment grâce à la définition de la dérivée, que \(z_n\sim-2/n\), et puisque \(y_n\sim z_n\), ça signifie que \(y_n\sim-2/n\).
$$\begin{array}{r|ccc}
n&y_n&z_n&-\frac2{n-1+2\sqrt2}\\\hline
1&-0.70711&-0.70711&-0.70711\\
2&-0.54533&-0.45711&-0.52241\\
3&-0.44223&-0.35263&-0.41421\\
4&-0.37090&-0.29046&-0.34315\\
5&-0.31874&-0.24828&-0.29289\\
10&-0.18485&-0.14696&-0.16908\\
100&-0.02026&-0.01892&-0.01964\\
500&-0.00402&-0.00394&-0.00399\\
1\,000&-0.00201&-0.00198&-0.00200\\
5\,000&-0.00040&-0.00040&-0.00040\\
10\,000&-0.00020&-0.00020&-0.00020
\end{array}$$
deuxième cas
maintenant, on va admettre que les coins bas-droite errent plus ou moins librement dans \([1/\sqrt2,1)\times[-1/\sqrt2,0]\setminus B\big((0,0),1\big)\). pour tout \((x_0,y_0)\in[1/\sqrt2,1]\times[-1/\sqrt2,0]\setminus B\big((0,0),1\big)\), on définit la suite \(\left(\xi_k(x_0,y_0)\right)_{k\in\mathbb Z}\) as such :
$$\left\{\begin{array}{llll}
\xi_0(x_0,y_0)&=&(x_0,y_0)\\
\xi_{n+1}(x_0,y_0)&=&\left(x_0,\textbf p_y\!\left(\xi_n(x_0,y_0)\right)\right)&\text{si }n\ge0\\
\xi_n(x_0,y_0)&=&\left(\textbf p_x\!\left(\xi_{n+1}(x_0,y_0)\right)\!,y_0\right)&\text{si }n\lt0\\
\end{array}\right.$$
on peut déjà voir, par construction géométrique, que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\xi_n(x_0,y_0)=\left(x_0,-\sqrt{1-(x_0)^2}\right)\) et \(\displaystyle\lim_{n\to-\infty}\xi_n(x_0,y_0)=\left(\sqrt{1-(y_0)^2},y_0\right)\). contrairement au cas où \(x_0=1\), on a les résultats suivants
- lorsque \(\frac1{\sqrt2}\le x_0\lt1\), \(\frac12\le\left.\frac\partial{\partial y}\textbf p_y\!\left(x_0,y\right)\right|_{y=-\sqrt{1-(x_0)^2}}\lt1\). la formule exacte de cette dérivée partielle est la suivante :
$$\partial_y:=\left.\frac\partial{\partial y}\textbf p_y\!\left(x_0,y\right)\right|_{y=-\sqrt{1-(x_0)^2}}=\frac{-x_0\sqrt{2\left(1-(x_0)^2\right)}}{\sqrt{1-2x_0\sqrt{1-(x_0)^2}}\sqrt{1-\left(x_0+\sqrt{1-(x_0)^2}\right)\sqrt{1-2x_0\sqrt{1-(x_0)^2}}}}$$
histoire de donner une idée de la tête de cette fonction pour \(\frac1{\sqrt2}\le x_0\lt1\), en voici une approximation :
$$\left.\frac\partial{\partial y}\textbf p_y\!\left(x_0,y\right)\right|_{y=-\sqrt{1-(x_0)^2}}\approx1+\frac1{\sqrt2}x+\frac15x\left(x+\frac1{\sqrt2}\right)+\frac12x\left(x+\frac1{2\sqrt2}\right)\left(x+\frac1{\sqrt2}\right)$$
- lorsque \(-\frac1{\sqrt2}\le y_0\le0\), on a \(0\le\left.\frac\partial{\partial x}\textbf p_x\!\left(x,y_0\right)\right|_{x=\sqrt{1-(y_0)^2}}\le\frac12\). je connais pas d'approximation aussi bonne, il faudra faire avec la vraie formule, qui est heureusement bien plus simple :
$$\partial_x:=\left.\frac\partial{\partial x}\textbf p_x\!\left(x,y_0\right)\right|_{x=\sqrt{1-(y_0)^2}}=\frac12\left(1-\frac{y_0-\sqrt{1-(y_0)^2}}{\sqrt{2-\left(y_0-\sqrt{1-(y_0)^2}\right)^2}}\right)$$
ça signifie que pour tout \((x_0,y_0)\), on peut utiliser la suite suivante pour approcher \(\left(\xi_k(x_0,y_0)\right)_{k\in\mathbb Z}\), et par "approcher", j'entends équivalence asymptotique :
$$\left\{\begin{array}{llll}
\zeta_0(x_0,y_0)&=&(x_0,y_0)\\
\zeta_{n+1}(x_0,y_0)&=&\displaystyle\binom{x_0}{-\sqrt{1-(x_0)^2}}+\left(\zeta_n(x_0,y_0)-\binom{x_0}{-\sqrt{1-(x_0)^2}}\right)\left.\frac\partial{\partial y}\textbf p_y(x_0,y)\right|_{y=-\sqrt{1-(x_0)^2}}&\text{si }n\ge0\\
\zeta_n(x_0,y_0)&=&\displaystyle\binom{\sqrt{1-(y_0)^2}}{y_0}+\left(\zeta_{n+1}(x_0,y_0)-\binom{\sqrt{1-(y_0)^2}}{y_0}\right)\left.\frac\partial{\partial x}\textbf p_x(x,y_0)\right|_{x=\sqrt{1-(y_0)^2}}&\text{si }n\lt0
\end{array}\right.$$
on reconnait deux suites arithmético-géométriques, et on peut trouver une forme fermée pour \(\left(\zeta_k(x_0,y_0)\right)_{k\in\mathbb Z}\) :
$$\left\{\begin{array}{llll}
\zeta_n(x_0,y_0)&=&\displaystyle
\binom0{x_0+\sqrt{1-(x_0)^2}}(\partial_y)^n+\binom{x_0}{-\sqrt{1-(x_0)^2}}
&\text{si }n\ge0\\
\zeta_n(x_0,y_0)&=&\displaystyle
\binom{y_0-\sqrt{1-(y_0)^2}}0(\partial_x)^n+\binom{\sqrt{1-(y_0)^2}}{y_0}
&\text{si }n\le0
\end{array}\right.$$
on a donc une convergence à décroissance exponentielle, contribuant alors bien moins dans la somme des aires que dans le premier cas. bon, je m'arrête là, je verrai bien ce que je pourrai concocter plus tard !
| ⟨ | logiques intuitionnistes et paracoh... |
| | quels nombres tester pour trouver u... | ⟩ |
|
alexandræ
|
