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logiques intuitionnistes et paracohérentes : un semi-addendum
18 août 2023c'est pas vraiment un addendum, à proprement parler, vu qu'ça parle de trucs un peu différents du précédent poste. par contre, ç'qui m'a fait réalisé les 3/4 d'ça vient d'trucs que j'ai enfin compris sur ç'que neopalm disait, surtout avec son opérateur \, que j'écrirai plutôt ⇸, vu qu'c'est + lisible comme ça ; c'est ç'qu'on appelle l'abjonction, ou non-implication. couplé avec ses trucs de dualité et tout que j'vais pas expliquer ici, ça m'a fait reconsidérer presque tout ç'que j'pensais sur la négation donc... ouais. j'vais qd mm essayé d'rendre ça compréhensible et intéressant histoire qu'ce soit un minimum lisible par contre lol.
en logique classique, on admet grosso-modo deux propriétés de chaque système logique qu'on aborde : leur cohérence, et leur complétude :
- la cohérence, formalisée comme (p→⊥)→(⊤⇸p), se traduit en quelque sorte en "aucune proposition fausse ne peut être vraie" dans l'système logique donné. en d'autres termes, ça rejette toutes propositions qui soient à la fois vraie et fausse, aussi appelées dialethéia, dans le système logique donné. la plupart des gens semblent dire que vérité et fausseté sont incompatibles, donc ça paraît être un rejet raisonnable.
- la complétude, formalisée comme (p→⊥)∨(⊤→p), se traduit en gros par "toute proposition doit être au moins vraie ou fausse" dans l'système logique donné. notez qu'ça n'exclut pas nécessairement les propositions à la fois vraies et fausses, à moins qu'le système soit cohérent aussi. ça rejette seulement les propositions qui soient ni vraies ni fausses, aussi appelées des propositions indépendantes, dans l'système logique donné.
- admettons d'une part que p soit vraie. par cohérence, "aucune proposition fausse ne peut être vraie", mais puisque p est vraie, on a que p est fausse par modus tollens.
- admettons ensuite que p soit fausse. mais par cohérence, "aucune proposition fausse ne peut être vraie", donc p est vraie par modus ponens.
- admettons d'une part que p ne soit PAS vraie. par complétude, "toute proposition doit être au moins vraie ou fausse", mais puisque p n'est PAS vraie, on a que p est fausse par syllogisme disjonctif.
- admettons ensuite que p ne soit PAS fausse. par complétude, "toute proposition doit être au moins vraie ou fausse", mais puisque p n'est PAS fausse, p est vraie par syllogisme disjonctif.
- d'un côté, t'as l'intuitionnisme, principalement câblé pour les logiques incomplètes, et rejettent donc l'idée qu'une proposition doive être au moins vraie ou fausse, c'est-à-dire qu'elle accepte les propositions ni vraie ni fausse, ou plutôt devrait-on préciser, ni prouvables ni réfutables, au moins dans l'système logique ambient.
dans la vie réelle, l'intuitionnisme peut être utilisé pour l'analyse logique d'opinions, qui sont concrètement arationnelles, càd ni intrinsèquement vraies ou fausses, mais peuvent être supposées vraies par leurs partisans. l'idée c'est d'voir un peu quelles opinions sont nécessairement liées les unes des autres, plutôt qu'juste sur une broutille statistique, et quelles opinions sont au contraire indépendantes les unes des autres, c'est-à-dire qu'on pourrait tout aussi bien soutenir l'une, l'autre, les deux ou aucune.
- de l'autre, t'as l'dialethéisme et sa logique paracohérente, principalement câblée pour les logiques incohérentes, et rejettent donc l'idée qu'une proposition fausse ne puisse pas être vraie, c'est-à-dire qu'elle accepte que des propositions soient à la fois vraies et fausses, ou plutôt devrait-on préciser, prouvables et réfutables à la fois, au moins dans l'système logique ambient. le dialethéisme, c'est juste l'idée qu'y existent des propositions à la fois prouvables et réfutables.
dans la vraie vie, l'dialethéisme se retrouve à chaque fois qu'on s'représente qqch, ou qu'on la conceptualise. on s'"trompe" toujours un peu quand on essaie d'comprendre un truc, dans l'sens on va pas nécessairement obtenir exactement les résultats qu'on en attend à la décimale près, mais ça veut pas forcément dire qu'un écart aussi minime soit-il peut pas nous indiquer qu'on a raison (au moins dans un sens pratique), et ça implique certainement pas qu'le père noël se mette à exister (référence au fameux principe d'explosion). j'simplifie à fond mais voilà quoi.
- dans des systèmes incomplets, puisque la logique classique force toutes les propositions qu'elle traîte à être au moins vraie ou fausse, elle éjecte concrètement toutes les propositions ni vraies ni fausses d'ç'que la logique classique au sein du système logique ambient s'permet d'traiter. si vous voulez, c'est un peu la version formelle de "quand on sait pas, on ferme sa gueule".
- par contre, pour les systèmes incohérents, là ça s'corse un peu. en effet, la logique classique dit qu'aucune proposition fausse ne peut être vraie dans l'système logique ambient. le problème, c'est qu'dès lors qu'y a une proposition prouvable et réfutable à la fois, vu qu'on peut citer n'importe quelle proposition prouvée partout où on veut dans les prémisses et conclusions de chaque argument, ça fait qu'on peut conclure par cette proposition à la fois prouvable et réfutable, et qu'la réfutabilité s'hérite des conclusions aux prémisses, ça fait qu'absolument toutes les propositions deviennent également réfutables, et donc fausses.
en principe, ça devrait inciter les mathématiciæns à virer dialethéistes, tout du moins bien + qu'intuitionnistes. le problème, c'est que si les systèmes incomplets et la logique intuitionniste permettent généralement de garder un minimum l'intérêt de la distinction vrai/faux, ou plus spécifiquement prouvable/réfutable, les systèmes incohérents et la logique paracohérente rendent la notion-même de fausseté complètement inutile car désormais triviale. la distinction devient alors vrai/non-vrai, ou plutôt prouvable/improuvable. en effet, c'est pas pck toutes les propositions sont fausses que certaines propositions peuvent ne pas avoir de preuve.
pour comprendre ça, faut comprendre que pour montrer qu'une proposition p est fausse, suffit d'juste montrer qu'elle mène à une contradiction, de la forme "q est vraie et fausse à la fois". on résume généralement ça en "si p, alors ⊥", ç'qui fait qu'on a souvent l'impression que ⊥ est un peu la conjonction d'toutes les contradictions, genre "p1 est vraie et fausse, et p2 est vraie et fausse, et p3 est vraie et fausse, et [...]". c'est en partie cette interprétation qui amène à croire au principe d'explosion, alors qu'en réalité, si on regarde les règles d'inférence classiques, ça n'a aucun sens. en effet, lorsque l'on a p, on peut pas déduire en général qu'on ait p ET une autre proposition q quelconque à la fois. ç'qu'on peut faire, par contre, c'est qu'avec p tout seul, on peut en déduire qu'on au moins p ou q : on appelle ça l'introduction d'la disjonction. ainsi, vu qu'on marque que "p implique ⊥" à chaque fois qu'p implique une contradiction, on peut plutôt voir ⊥ comme la disjonction des contradictions, càd "on a au moins p1 qui soit vraie et fausse, ou p2 qui soit vraie et fausse, ou p3 qui soit vraie et fausse, ou [...]" (ça j'remercie neopalm pour l'idée, encore une fois), et de là on peut plus vraiment obtenir le fameux principe d'explosion. d'ailleurs, oui, j'sais qu'"p est fausse" c'est littéralement "p implique ⊥", donc ce serait une définition un peu auto-référentielle/récursive de ⊥, mais eh c'est pas trop grave, c'est + conceptuel qu'une définition concrète.
mais alors, où est le problème ? alors, on peut avoir l'impression au premier abord qu'passer de "réfutabilité" à "improvabilité" soit assez trivial, mais on aurait tort d'penser ça. en effet, la façon standard pour réfuter une proposition est de montrer qu'elle mène à une contradiction, mais c'est pas un argument valide pour l'improuvabilité en logique paracohérente, et croyez-moi, ç'genre de preuves dites "de la négation" et "par l'absurde" sont extrêmement courantes en mathématiques. montrer qu'on peut PAS obtenir une proposition donnée à partir de tout ç'qu'on admet dans l'système logique ambient, c'est bien plus difficile que d'réfuter une proposition ; faudrait trouver des sortes de propriétés invariantes, nécessaires, à toutes les propositions dérivables des règles et prémisses admises, par exemple. donc voilà. une tâche assez ardue, quoi.
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