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motivons la logique paracohérente (vulgarisation)
27-28 juillet 2023salut à toustes ! ça fait un moment à cause des vacances, donc j'ai pris un peu d'tps pour moi et tout. mais bon, j'ai continué à creuser un peu dans la logique, et depuis qu'j'ai rejoint l'serveur discord à kane b, j'ai pu roder mes connaissances logiques encore + loin. le plan d'cet article va être d'abord d'motiver pk on voudrait définir vrai et faux (en logique) avec un problème très connu qui tourmente conceptuellement la majorité des maths, en présentant une solution (la logique paracohérente) qui nécessitera cependant de comprendre ce qu'on entend par vrai ou faux en logique.
partie i : le souci
introduction : zf et principe d'explosion, un duo fatal
les maths sont principalement basées sur la théorie des ensembles de zermelo-fraenkel, qu'on abrège généralement en zf. j'vais pas expliquer exactement ç'que c'est, dites-vous juste que c'est vrmt un pilier des maths. une grande part des mathématiques, évidemment, ça va être de trouver si une proposition donnée est vraie, auquel cas on peut en faire un théorème, un lemme, ou autre. ainsi, bien évidemment, les mathématiciæns croyons fermement que notre boulot n'est pas vain. et pourtant, c'est bien à ça que l'on s'risque en s'basant majoritairement sur la théorie des ensembles de zermelo-fraenkel. cette théorie est en effet fragilisée par la conjonction d'deux mastodontes en logiques mathématique et classique : les théorèmes d'incomplétude de gödel d'un côté, et le principe d'explosion de l'autre. on va pas tout d'suite s'attarder sur les détails de ceux-ci ; on verra uniquement ç'qui va nous concerner.
le principe d'explosion
tout d'abord, que nous dit le principe d'explosion ? eh bien, il nous dit que si on s'risque à "admettre" une proposition contradictoire ou au moins fausse, càd à traiter une proposition contradictoire ou au moins fausse comme si elle était vraie, on pourrait alors en déduire ç'qu'on veut. par exemple, si j'admettais qu'le père noël existe, ç'qui est faux mais qu'j'vais du coup traiter comme si c'était vrai, eh bien par ce principe d'explosion, je pourrais en déduire que j'suis l'pape. ainsi, s'y existait ne serait-ce qu'une seule proposition qu'zf permettrait de conclure comme vraie, mais qui s'trouverait être fausse, zf serait foutue ; toutes les propositions dans zf seraient alors équitablement vraies, se réduisant ainsi en un système trivialiste selon une interprétation, ou alors qu'aucune question n'est traitable par zf dans une autre qui fait le pont entre explosion et vérité creuse (c'est-à-dire de former un argumentaire en partant d'un élément de l'ensemble vide, ç'qui est évidemment complètement absurde mais est surtout dû au fait qu'un tel élément n'existe pas)[1], mais rendant le travail de læ mathématiciæn parfaitement inutile dans les deux cas. pour éviter une telle possibilité, il nous faudrait nous assurer qu'aucun énoncé dans zf puisse être traiter à la fois comme vrai et faux – en termes techniques, on dira qu'on cherche à montrer que zf serait cohérent (càd non-contradictoire). pourtant, si y a bien qqch que les mathématiciæns redoutent le +, ce serait bel et bien d'avoir une telle preuve que zf serait cohérente – en tout cas, si cette preuve se faisait avec zf elle-même. alors, évidemment, y a d'quoi s'poser des questions : pourquoi est-ce qu'une preuve, d'exactement ç'que les mathématiciæns veulent, serait si redoutée par celleux-ci ? eh bien, pour comprendre cet étrange comportement, on va devoir faire un tour chez tonton gödel, comme annoncé dans l'paragraphe précédent.
gödel et la constante menace d'explosion de zf
un des résultats que gödel nous a fourni dans ses théorèmes d'incomplétude est le paradoxe suivant : s'y existait une preuve que zf est cohérente selon zf elle-même, alors zf serait incohérente. en d'autres termes, zf ne peut pas prouver sa propre cohérence, à moins d'être incohérente. voilà pourquoi les mathématiciæns espérons de tout notre cœur qu'une telle preuve n'existe pas dans zf elle-même, car cela sonnerait l'glas de toute notre profession. bien sûr, rien empêche qu'une preuve d'la consistance d'zf puisse exister ailleurs, dans un autre système que zf lui-même, peut-être un système lui-même cohérent. mais pour le moment, aucune preuve ni système n'a été trouvé, ç'qui fait qu'nous, mathématiciæns, vivons dans la constante crainte qu'une minime proposition ruine notre vie à tout jamais. enfin, en vrai, on pourrait bien aussi s'rabattre sur les axiomes de peano, qui ont quant à eux été prouvés comme cohérents[2], mais ce serait qd mm un sacré downgrade par rapport à zf, du coup on continue à bosser avec zf malgré tout, ç'qui signifie du coup qu'une seule et unique incohérence pourrait à elle seule oblitérer presque toutes les maths qu'on connait.
ouverture : comment peut-on faire face à cette réalité ?
les mathématiciæns devons alors établir des mécanismes pour faire face à cette possibilité. le plus courant, c'est que « franchement, s'y en avait une d'incohérence dans zf, on l'aurait trouvé là ». alors, bon, c'est pas très rigoureux et y a une tonne de résultats mathématiques qui défient les observations empiriques.[3] mais bon, même sans ça, les maths obtenues grâce à zf semblent beaucoup trop utiles et beaucoup trop bien vérifiées pour se dire que zf risquerait de littéralement exploser s'y avait une incohérence, aussi minime soit-elle ; c'est du coup un argument purement pragmatique, mais qui vient alors s'confronter au fameux principe d'explosion. et en effet, on peut parfaitement refuser le principe d'explosion, même si bcp d'résultats risqueraient soit de sauter, soit de nécessiter davantage de travail que précédemment cru. bon ça peut être tentant, mais refuser ç'principe nécessite également d'refuser l'principe de non-contradiction, qui dit qu'aucune proposition peut être à la fois vraie et fausse.
démonstration. en effet, la règle la plus basique en logique est le modus ponens, qui permet tout simplement de vérifier une implication : si A implique B et qu'on a A, alors on a B. on écrira aussi {A⇒B, A}⊢B (⇒ signifie "implique", et ⊢ signifie "conclut"), ou encore
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partie ii : vrai, faux, non-vrai, non-faux
voyons ça sous un angle pratique : comment on fait pour montrer qu'une proposition est vraie ou fausse ? pour montrer qu'elle est vraie, on la déduit de règles d'inférence acceptées (eg modus ponens, modus tollens, etc.) et de prémisses initiales. pour montrer qu'une proposition est fausse, on montre qu'elle conduit à une contradiction. ainsi, vrai veut dire "une des prémisses ou une proposition déduite de celles-ci via des règles d'inférence acceptées" (en pratique), et faux veut dire "conduit à une contradiction" (en pratique). déjà, on peut rapidement voir pourquoi "non-vrai" n'est pas nécessairement pareil que "faux" : si vrai veut dire "une des prémisses ou une proposition déduite de celles-ci via des règles d'inférence acceptées", ça veut dire qu'non-vrai signifie "n'est ni une prémisse, ni n'en suit par des règles d'inférences acceptées", et ça ça un nom qu'certains connaissent peut-être déjà : une non-vérité est un non-sequitur (littéralement "ne suit pas"). en logique explosive, la fausseté est une raison suffisante pour être un non-sequitur, mais dans d'autres cadres logiques, ça relève davantage de la coïncidence. quant à non-faux, ça signifie simplement "ne conduit pas à une contradiction", ç'qui est j'dois l'avouer extrêmement galère à prouver ça par contre mdr. ces définitions de "vrai", "non-vrai", "faux" et "non-faux" sont déjà communément acceptées en logique formelle, j'ai rien redéfini du tout ; seules ç'qu'on considère comme des relations compatibles peuvent différer. si j'dois faire un p'tit tableau d'récap des relations possibles, voici ç'qu'on obtient :
| Simultanéité | Vrai | Non-vrai (non-sequitur) Faux | Non-faux
| Vrai | ✓ | (pareils) ✗ | (impossible) Possible | (sauf par non-contradiction) Possible | (sauf si non-sequitur) Non-vrai | (non-sequitur) ✓ | (pareils) Possible | (et même nécessaire par non-contradiction) Possible | (ç'qu'on appelle l'"indépendance") Faux | ✓ | (pareils) ✗ | (impossible) Non-faux | ✓ | (pareils) |
à noter qu'l'"indépendance" est communément acceptée par les mathématiciæns, y compris dans zf où certaines propositions y ont été démontrées comme indépendantes comme pour l'hypothèse du continu – ça vient d'ailleurs un peu renforcer l'idée d'abandonner le principe d'explosion, puisque de cette manière, zf serait au mieux cohérent, au pire paracohérent (càd qu'y aurait des propositions à la fois vraies et fausses), mais certainement pas trivialiste (puisqu'y a des propositions indépendantes dans zf), évitant donc au travail des mathématiciæns bossant dans zf (càd une vaste majorité) de s'faire hagar par une seule contradiction. bon, cette partie était significativement plus courte, mais bon elle est aussi bcp plus dense donc en vrai c'est normal qu'j'arrête là mdr. j'espère ça a au moins un minimum attisé votre curiosité, et j'vous dis au prochain article du coup. j'vous laisse avec les notes de bas d'page ci-bas, du coup.
notes de bas d'page
[1] celle-là, tu peux pas capter si t'as pas lu la deuxième partie. en utilisant l'principe d'explosion, si p était à la fois vrai et faux, alors la conjonction d'toutes les propositions sequitur (une autre idée basée sur les définitions à neopalm, surtout celle de ç'que nel appelle t) devrait impliquer p (par vérité d'p). cependant, p⇒f par explosion vu qu'p est fausse, donc t⇒f par transitivité, ou en d'autres termes, pour toute proposition q, on aurait q⇒f, signifiant qu'q est fausse, et du coup non-sequitur par non-contradiction. c'est ç'que j'voulais dire en disant qu'zf pourrait traiter aucune question, mm si j'imagine qu'on peut aussi interpréter cette phrase comme "toute proposition serait indépendante de zf" ç'qui... j'veux dire, techniquement, ouais ? au moins en tant qu'vérité vague quoi.
[2] preuve de cohérence des axiomes de peano par gentzen, wikipédia.
[3] mon exemple préféré c'est celui-ci : empiriquement, y semble que le nombre de nombres premiers (positifs, donc 2, 3, 5, 7, 11, &c.) en-dessous d'un réel x quelconque serait toujours plus petit que li(x) – je vais pas trop expliquer ce qu'est- cette fonction, mais disons qu'elle approche très bien le nombre de nombres premiers (positifs) en-dessous de x, leur ratio s'approchant de 1 quand x est d'plus en plus grand. pourtant, y a bel et bien un moment où li(x) y est excédé, mais qu'au bout de x≈10316... c'est un 1, puis 316 zéros derrière avant la virgule. en comparaison, l'nombre d'atomes dans l'univers visible vaut environ 6×1079... c'est un 6, suivi 79 zéros derrière la virgule. c'est peanuts à côté mdr.
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