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ensembles discrets, ensembles d'adhérence discrètes, et discontinuitiés
19 juin 2023j'ai remarqué qu'les discontinuités d'fonctions s'comportent bien qd elles forment des ensembles discrets, surtout des ensembles à adhérence discrète. un ensemble est dit discret si tous ses éléments sont isolés : S est discret, pour tout x ∈ S, y existe ε > 0 tq B(x, ε) ∩ S = {x}. si un ensemble S a une adhérence discrète, ça signifie qu'son intersection avec n'importe quel ensemble borné est de cardinal fini. voici ci-bas deux exemples que j'ai trouvés où ç'genre d'ensembles ont rendu plus simple l'approche de questions liées aux discontinuités d'fonctions.
quand y s'agit des "fonctions d'comptage", les discontinuités arrivent naturellement là où des trucs se trouvent être comptés d'une façon ou d'une autre, genre leur norme ou j'sais pas quoi. c'est surtout un truc de théorie des nombres mais ça a aussi poppé dans ma recherche sur les réseaux géométriques. généralement, on souhait que les fonctions d'comptage aient ℕ pour ensemble d'arrivée. cependant, cet ensemble contient pas +∞, donc j'ai cherché pour une condition minimale pour assurer qu'une telle fonction puisse exister. et bien sûr, j'en ai trouvé une : si on a S⊂Ω tq sup(Ω) = +∞, et que f:Ω→ℕ a S comme ensemble des discontinuités, l'adhérence de S peut pas avoir de point non-isolé... en d'autres termes, son adhérence doit être discrète !
preuve. j'ai utilisé une preuve par négation pour ça (la forme constructivement valide de preuve par l'absurde, vu qu'ça utilise juste ¬p:≡[p⇒⊥] qui est la définition formelle d'la négation) ; on admet qu'y existe ℓ un point non-isolé dans cl(S). alors, y existe (ai)i∈ℕ∈Sℕ qui converge vers ℓ, sans jamais l'atteindre. vu qu'la suite converge, c'est une suite de cauchy, et n'atteinte jamais ℓ donc on peut construire une fonction (d'extraction) strictement croissante φ : ℕ → ℕ telle que (|aφ(i)-ℓ|)i∈ℕ soit strictement décroissante. sans perte de généralité, on peut admettre (aφ(i))i∈ℕ strictement monotone, disons croissante vu qu'un raisonnement similaire occurre si c'est décroissant. alors, vu qu'im(f)=ℕ, que f est croissante, et que S est l'ensemble de ses discontinuités, alors pour tout ε>0 et x∈S, on a f(x−ε)+1≤f(x) ou f(x)+1≤f(x+ε), ou les deux en vrai. du coup, on peut conclure par récurrence que f(aφ(n))≥f(aφ(0))+n→+∞, donc (f(aφ(n)))i∈ℕ diverge vers +∞, ç'qui implique que f n'est pas définie sur [ℓ,+∞[. par contradiction/négation, S n'a pas de point non-isolé, ce qui conclut notre preuve. voici une visualisation approximative de la preuve.
un autre endroit chelou où on on trouve ça et qu'ça aide un max, c'est qd on cherche des conditions minimales pour l'intégrabilité d'fonctions à signes alternées : soient ε>0, des réels suffisamment grands A>0 et ω>0, et f : Ω⊇(A,+∞) → ℝ une fonction telle que |f(x)| ≤ 1/xε pour tout x>A, alors c'est intégrable dès lors qu'il change de signe au moins une (mais un nombre fini) de fois dans chaque intervalle de longueur ω et ⊆ (A,+∞)... ç'qui implique que sgn(f) a un ensemble de discontinuité d'adhérence discrète. même si c'est pas une équivalence directe, c'est une propriété qui va nous mettre bien qd on va attaquer la preuve elle-même ! j'l'ai formatée sur mathb.in si vous voulez voir.
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