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alexandræ · cette fois où j'ai fait diviser par zéro à chatgpt
cette fois où j'ai fait diviser par zéro à chatgpt13 janvier 2024
joyeuse année, j'espère que vous avez passé de bonnes fêtes ! pour terminer tous ces trucs de 2023, laissez-moi vous parler d'un truc que j'ai fait y a environ cinq mois — j'pensais pas qu'ça valait un billet d'blog, mais en rétrospective c'est vrai qu'c'est marrant. en gros, j'avais essayé d'formaliser une division par zéro de telle sorte à rendre tout nombre inversible, en perdant aussi peu d'propriétés qu'possible. pour cela, j'ai pris un corps \(K\) et j'ai défini \(K_{0^{-1}}:=K+\{0,0^{-1}\}\) où \(0^{-1}\) est défini avec ces propriétés :
- \(0^{-1}\cdot0:=1=:0\cdot0^{-1}.\) similairement, \((0^{-1})^{-1}:=0.\)
- la multiplication est commutative\(\,:\,\forall\,x,y\in K_{-1},\,x\cdot y=y\cdot x.\)
- pour \(x>0\), à l'instar de \(0^x=0\), on a \(0^{-x}:=0^{-1}.\)
- pour \(x\ne0,\) \(x\cdot0^{-1}:=0^{-1}=:0^{-1}\cdot x.\)
- y a d'la \((K,\cdot)\)-distributivité sur \((K_{-1},+),\) ce qui implique que pour \(x,y\in K,\) \(x\cdot(y+0^{-1})=\left\{\begin{array}{ll}xy+0^{-1}&x\ne0\\1&x=0\end{array}\right.\)
- pour \(x,y\in K,\) \((x+0^{-1})\cdot(y+0^{-1})=xy+0^{-1}.\)
- pour \(x,x'\in K_{-1},\) \(x'/x=x'x^{-1}.\)
- pour \(x\in K,\) \((x+0^{-1})^{-1}=0.\)
certes, la multiplication n'est ni associative, ni distributive sur l'addition. mais bon, tant qu'on fait bien gaffe à ç'qu'on fait, faire d'la division par zéro d'cette façon est plus (+) que faisable. y a quelques propriétés étranges de \(0^{-1}\) qu'on peut facilement montrer, notamment que \(0^{-1}=-0^{-1}\) donc \(0^{-1}+0^{-1}=0,\) bien que \(2\cdot0^{-1}=0^{-1}\ne0\ldots\) ouais. là où chatgpt arrive, c'est quand j'lui ai demandé de calculer \((x+0^{-1})^n.\) j'ai cru qu'j'l'avais résolu, mais en demandant à chatgpt, il a trouvé \((x+0^{-1})^n=x^n+0^{-1},\) ç'qui était différent de ç'que j'avais (parce que j'avais utilisé le binôme de newton, qui ne marche bien évidemment pas ici...), et c'est en examinant sa preuve que j'ai réalisé mon erreur et qu'il y était bien arrivé. voici sa preuve :
on peut prouver cette égalité par récurrence sur \(n.\) pour \(n=1,\) on a \((x+0^{-1})^1=x^1+0^{-1}\) qui est trivial. supposons maintenant que \((x+0^{-1})^n=x^n+0^{-1}\) pour un certain \(n>0.\) nous allons montrer que \((x+0^{-1})^{n+1}=x^{n+1}+0^{-1}.\) en effet, on a
$$\begin{array}{rrl}(x+0^{-1})^{n+1}&=&(x+0^{-1})^n(x+0^{-1})\\&=&(x^n+0^{-1})(x+0^{-1})\\&[=&\cdots]\\&=&x^{n+1}+0^{-1}\end{array}$$
où l'on a utilisé les propriétés de \(K_{-1}\) pour justifier les différentes étapes. ainsi, par récurrence, on a montré que \((x+0^{-1})^n=x^n+0^{-1}\) pour tout \(x\in K\) et \(n>0\).
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