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alexandræ · continuité uniforme sur les fonctions \(f:E\subseteq\mathbb R\to\mathbb R\) dérivables presque partout
continuité uniforme sur les fonctions \(f:E\subseteq\mathbb R\to\mathbb R\) dérivables presque partout23 décembre 2023
y a une petite semaine ou deux, j'me suis fixǽ un peu arbitrairement l'objectif de caractériser la continuité uniforme de façon + calculatoire, afin d'en développer une meilleure intuition, et aider quelques étudiantæs à en comprendre la différence entre ça et la continuité simple.
ça a commencé à partir d'une intuition que ça avait qqch à avoir avec des oscillations de plus en plus rapide, soit autour d'un point, soit en ±∞. c'est évidemment un peu faux, au vue de fonctions comme \(\mathbb R.x\mapsto\mathbb R.x^2\) ou \(\mathbb R^*.x\mapsto\mathbb R.\!(\frac1x)\) qui en sont des contre-exemples fondamentaux... ou le sont-ils ? nan pck pour \(\varepsilon>0,\) si on écrit \(\pi_\varepsilon:\mathbb R.x\to(\mathbb R/\varepsilon\mathbb Z).\!(x+\varepsilon\mathbb Z),\) alors \(\pi_\varepsilon\) composé avec n'importe quelle des fonctions précédentes exhibent cette sorte d'oscillations d'plus en plus rapides, au contraire d'autres comme \(\mathbb R.x\mapsto\mathbb R.x\), qui quant à lui est d'ailleurs bien uniformément continue. quand j'ai essayé d'formaliser ça, y avait des bails de réciproques, de lignes de niveau, et d'ensembles uniformément discrets, mais ça m'a conduit vers des trucs pas pratiques du tout, donc j'ai fait un p'tit virage vers les fonctions dérivables presque partout spécifiquement sur leur domaine de définition.
en fait, j'ai cherché des trucs d'oscillation mathématique sur wikipédia au bout d'un moment, surtout pour trouver une sorte de version pointwise (j'ai aucune idée comment on peut traduire ça ptdr). j'ai vu qu'ça avait à voir avec le module de continuité, qu'j'avais complètement oublié mais j'm'en rappelle de mes cours d'analyse fonctionnelle ; mais bon même, c'était pas pointwise donc j'étais pas saisfaitæ. du coup j'suis revenuæ sur la page qui parle de l'oscillation mathématique, qu'on peut apparemment définir comme suit :
$$\begin{array}{lllll}
\omega&:&E\subseteq\bigcup\limits_{A,\,B\,\subseteq\,\mathbb R}B^A&\longrightarrow&\bigcup\limits_{A\,\subseteq\,\overline{\mathbb R}}\mathbb R^A\\[10pt]
&&f:A\to B&\longmapsto&\begin{array}{lllll}\omega(f)&:&\overline{A}^{\,:\,{\overline{\mathbb R}}}&\longrightarrow&\overline{\mathbb R}\\&&z&\longmapsto&\limsup\limits_{\zeta\,\to\,z}f(\zeta)-\liminf\limits_{\xi\,\to\,z}f(\xi)\!\end{array}
\end{array}$$
le problème avec ça c'est qu'du coup ç'aurait été indéterminé si les liminf et limsup étaient infinis du même signe (c'est la seule raison pour laquelle j'ai dû mettre \(E\subseteq\) dans sa définition). heureusement, dans les confins des résultats qu'j'veux présenter, j'ai juste besoin d'le redéfinir comme suit :
$$\begin{array}{lllll}
\varpi&:&\bigcup\limits_{A,\,B\,\subseteq\,\mathbb R}B^A&\longrightarrow&\bigcup\limits_{A\,\subseteq\,\overline{\mathbb R}}\mathbb R^A\\[10pt]
&&f:A\to B&\longmapsto&\begin{array}{lllll}\varpi(f)&:&\overline A^{\,:\,\overline{\mathbb R}}&\longrightarrow&\overline{\mathbb R}\\&&z&\longmapsto&\limsup\limits_{\zeta\,\to\,z}\left|f(\zeta)-\liminf\limits_{\xi\,\to\,z}f(\xi)\right|\!\end{array}
\end{array}$$
où \(-\infty+\mathbb R=\{-\infty\}\) et \(+\infty+\mathbb R=\{+\infty\}.\)
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