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alexandræ · encore un "paradoxe" probabiliste, comme si on en avait déjà pas assez
encore un "paradoxe" probabiliste, comme si on en avait déjà pas assez22 avril 2024
un algorithme veut quantifier l'attractivité de son site pour un utilisateur donné. pour ce faire, il vérifie toutes les minutes pour voir s'il s'est connecté et estime la probabilité qu'il se connecte chaque minute.
un de ces utilisateurs se connecte toutes les minutes paires et se déconnecte toutes les minutes impaires. on pourrait dire que, pour estimer ladite probabilité, il suffit de diviser le nombre de minutes pendant lesquelles il s'est connecté (30) par le nombre de minutes dans une heure (60), ce qui nous donne une estimation de 1/2. ainsi, avec cette méthode d'estimation, on pourrait conclure que l'utilisateur aurait une probabilité constante de 1/2 de se connecter chaque minute. après tout, rien ne semble contredire l'hypothèse d'une probabilité constante, pas vrai ? 30 connexions par heure semble raisonnable... pas vrai ?
eh bien, on pourrait aussi bien prendre le problème à l'envers : admettons qu'on connaisse déjà ladite probabilité, \(p,\) et on veut connaître le nombre attendu de minutes par heure que l'utilisateur soit connecté. pour ce faire, vu qu'on s'attend à ce qu'il passe \(1/p\) minutes d'affilée connecté, et \(1/(1-p)\) minutes d'affilée déconnectés, on doit s'attendre à ce qu'il se connecte \(\displaystyle\frac{60}{\frac1p+\frac1{1-p}}=60\cdot p\cdot(1-p)\) minutes par heure (oui c'est juste l'espérance d'une binomiale de paramètre \((60,p),\) je trouvais juste cette explication plus croustillante). cependant, ça se voit assez bien que \(60\cdot p\cdot(1-p)\) atteint sa valeur maximale en \(p=1/2,\) qui est 15. donc, avec une probabilité de connection d'1/2 à chaque minute, on peut s'attendre à seulement 15 minutes de connexion par heure, ce qui signifie que 30 minutes de connexion par heure ne représentent pas aussi probablement une probabilité constante de 1/2 de connexion chaque minute, comme on aurait pu le penser au préalable ! c'est beaucoup plus probable que cette probabilité varie au cours de l'heure, étant à 100% pour les minutes paires et à 0% pour les minutes impaires.
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alexandræ
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